Franz Braun, Köln: Olympische Goldmedaillen

Stellen Sie sich vor, ein Mitarbeiter des olympischen Organisationsteams bekam aus der Prägeanstalt eine Muster-Lieferung von elf Goldmedaillen, um festzustellen, ob sie den Wünschen der Veranstalter entsprachen. In der Prägeanstalt war nämlich schon aufgefallen, dass das Gewicht der Muster untereinander zwar gleich war, aber ganz leicht vom Original abwich.

Der Mitarbeiter holte deshalb eine Medaille aus dem Safe, um sie mit den Mustern zu vergleichen. Optisch sahen alle Muster und das Original völlig identisch aus. Aber ob das Original nun ein wenig leichter oder schwerer war, konnte man den Medaillen nicht ansehen. Durch ein Versehen fiel dem Mitarbeiter das Original auch noch aus der Hand und landete zwischen den Mustern. Niemand konnte mehr durch Betrachten feststellen, welches die Originalmedaille aus dem Safe war.

Balkenwaage

Zum Glück meldete sich ein "Denk"-Sportler, der versicherte, er würde das Original herausfinden und sogar feststellen, ob es leichter oder schwerer ist als die nachgeprägten Medaillen.

Er benötigte dazu lediglich eine einfache Balkenwaage, also ein Gerät, das dazu dient, einen Gewichtsunterschied in zwei Schalen anzuzeigen, indem sich eine Seite senkte bzw. hob.

Bei gleichem Gewicht auf beiden Seiten der Waage ist sie "in der Waage", der Balken ist also waagerecht. Davon haben Sie bestimmt schon mal gehört. (Bemerken Sie mein Schmunzeln?)

Natürlich war man skeptisch, ließ aber den "Denk"-Sportler gewähren. Tatsächlich fand er das Original unter den 12 Medaillen und konnte bestimmen, ob es etwas leichter oder schwerer war als die elf Nachprägungen. Dazu brauchte er nur drei "Wiegevorgänge", ohne Zufallsglück zu nutzen.

Schaffen Sie das auch? Dann sind Sie olympiareif.

 
Zur Lösung

Es ist recht komplex, aber nicht unmöglich, die Aufgabe in einem Zug zu lösen, etwa durch Verknüpfen mehrerer Gleichungen. Man hilft sich deshalb, indem man sog. Fallunterscheidungen vornimmt. Je nachdem, wie eine Wägung ausgeht, nimmt man den nächsten Schritt passend anders vor.

Etwas kompliziert wird es, weil man sich für alle möglichen Fälle stets einen eigenen Lösungsweg überlegen muss. Die Waage kann, was für ein Wunder, auf einer Seite schwerer oder auch leichter sein, oder sie ist im Gleichgewicht.

Drei mögliche Fälle sind es im ersten Schritt, bei der zweiten Wägung gibt es zu jedem Ausgang wieder drei weitere. Bis zum dritten Wägegang entstehen so maximal 3x3x3=27 mögliche Szenarien, die untersucht sein wollen. Dieser Beitrag wird also etwas länger als sonst.

Zum Glück lassen sich im Verlauf einige Konstellationen ausschließen, weil sie doppelt vorkommen. Nur ein Fall trifft tatsächlich zu, den es mit Sicherheit zu finden gilt.

Nicht begründet ist hier, dass nur drei Wägungen nötig sind, um die Aufgabe sicher zu lösen, doch es ist so. Sie müssen als Knobelfreund nur alle beschriebenen Schritte logisch nachvollziehen.

Sie schaffen das!

 
Konventionen: Ordnung muss sein

Bevor die Medaillenverteilung beginnt, soll die Bedeutung der Farben in den folgenden Abbildungen erklärt werden. Medaillen mit unbekannter Zuordnung sind weiß dargestellt. Grau sind diejenigen Medaillen, die mit Sicherheit im Gewicht normal, also Neuprägungen sind. Alle grauen Medaillen haben gleiches Gewicht. Wenn Medaillen rot erscheinen, dann können sie schwerer sein, aber sie sind niemals leichter - immer verglichen mit den Neuprägungen. Umgekehrt können blaue Medaillen leichter sein, aber niemals schwerer.

Damit es keine Missverständnisse gibt: die blaue oder rote Farbe eines Medaillensymbols bedeutet nicht, dass ihr Gewicht abweichen muss, es kann aber so sein. Es gibt ja nur eine Medaille, die tatsächlich im Gewicht anders ist. Die Farbe legt nur die mögliche Richtung der Abweichung fest, die mit Wägungen ermittelt wird - wenn es denn einen Unterschied zu den grauen gibt. Sie schließt aber die Abweichung in die Gegenrichtung mit Sicherheit aus.

 
Die erste Wägung, nachdem der innere Schweinehund überwunden ist

Von den 12 Medaillen legen wir anfangs je vier beliebige in die beiden Waagschalen. So bleiben in der folgenden Grafik vier weiß dargestellte Medaillen abseits, die (noch) nicht gewogen werden.

1. Wägung

Stellen wir uns als möglichen Ausgang der ersten Wägung vor, dass die Waage im Gleichgewicht ist, dann kann die einzige abweichende Medaille auf keiner Seite der Waage liegen. In den Schalen sind mit Sicherheit acht Neuprägungen, weil sie alle gleiches Gewicht haben. Sie sind weder schwerer, noch leichter, also in neutralem Grau abgebildet. Das gesuchte Original muss sich unter den vier noch nicht gewogenen weißen Medaillen befinden.Dies soll der Fall 1 sein, er ist in der Abbildung oben als 1 dargestellt.

Den Fall 2 oder 3 nehmen wir an, wenn die Waage ausschlägt. Die Richtung ist zunächst egal. Wir wissen dann, dass die gesuchte Medaille in einer der Schalen liegt. Nur in welcher der beiden, das bleibt noch unbekannt. Unter den vier nicht gewogenen weißen Medaillen ist das Original keinesfalls, weil nur eine Medaille ein abweichendes Gewicht hat.

Aber gesichert ist eine weitere Erkenntnis: Liegt sie auf der Seite, die nach unten geht, dann muss sie schwerer sein (rot), falls sie aber in der oberen Schale sein sollte, dann ist sie garantiert leichter (blau). Das ist für beide Fälle gleich, deshalb betrachten wir in der Folge Fall 3 nicht mehr.

Es ist nun mal das Prinzip der Balkenwaage, die bereits in einem ägyptischen Grab etwa 5000 v.Chr. auftaucht: ist eine Seite schwerer, dann geht diese immer nach unten, sogar auf dem Mond, egal, wie tief der gerade steht.

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Die zweite Wägung, jetzt Ausdauer zeigen

Machen wir zunächst weiter mit Fall 1, bei dem die Waage im Gleichgewicht war. Es ist zu bestimmen, welche der vier bisher nicht gewogenen Medaillen das Original ist und in welche Richtung ihr Gewicht abweicht.

Dazu entfernen wir alle vier Medaillen aus einer der Waagschalen. Auf der anderen Seite nehmen wir nur eine weg. Welche Seite der Waage wir jeweils nehmen, das ist egal, denn alle acht aufliegenden Medaillen sind bereits als neutrale Nachprägung identifiziert, weil sie alle das gleiche Gewicht haben. Diese möglichen Fälle müssen wir schon mal nicht separat betrachten.

Wichtig ist, dass auf einer Seite (im folgenden Bild der linken) drei neutrale Nachprägungen liegen, die andere Schale ist zunächst noch leer.

2. Wägung, 1. gleich

Nun legen wir beliebige drei der vier anfangs nicht gewogenen Medaillen in die leere Schale. Wie bereits vermutet, wird wieder einer von drei Fällen als Ergebnis eintreten.

Die Waage kann nämlich erneut im Gleichgewicht sein (Fall 1a), doch die neu aufgelegte Seite könnte sich auch heben (Fall 1b) oder sich vielleicht senken (Fall 1c). Mit der Fallunterscheidung sind jetzt alle drei Möglichkeiten zu untersuchen.

Was folgt aus dem Gleichgewicht in Fall 1a? Weil die drei in der Schale verbliebenen Neuprägungen verglichen mit den gerade aufgelegten drei neuen Medaillen das gleiche Gewicht haben, ist das gesuchte Original mit der Abweichung wieder nicht darunter. Die letzte, bisher nicht gewogene Medaille muss also das Original aus dem Safe sein. Unbekannt bleibt, ob sie schwerer oder leichter ist. Darum zeigt sie die vorige Abbildung in den zwei Farben blau und rot.

Falls die Waage aber ausschlägt, dann kann die immer noch nicht gewogene Medaille auf keinen Fall die gesuchte sein. Das geht nur im Fall 1a und würde zwingend Gleichgewicht bedeuten.

Sollte der Fall 1b eintreten, dann muss eine der drei neu aufgelegten Medaillen das leichtere Original sein, sonst könnte sich die rechte Schale ja nicht heben. Senkt sie sich aber, wie in Fall 1c, dann ist das Original darin und es ist schwerer.

Wir wissen nun also, ob die gesuchte Medaille schwerer oder leichter ist. Sie liegt ganz sicher in der vorher geleerten Schale als eine von drei Medaillen - aber nur, wenn am Anfang Fall 1 zutraf, der ein Gleichgewicht der vier Medaillen auf jeder Seite bedeutete. Doch was tun, wenn nicht?

Dann springen wir zurück zu Fall 2 und 3 in der ersten Wägung. Hier war die Waage ja gerade nicht im Gleichgewicht. Zur Erinnerung finden Sie links noch einmal die Grafik zur ersten Wägung, aber mit abgeblendetem Fall 1.

Die gesuchte Medaille muss dabei in einer der beiden Waagschalen liegen, sie befindet sich auf keinen Fall bei den vier bisher nicht gewogenen Medaillen.

Dass wir Fall 3 auslassen können, wurde eben schon gezeigt, denn es ist egal, auf welcher Seite etwa die obere Schale ist, weil dort wird nie die schwere Medaille sein kann. Man könnte die Waage einfach von hinten betrachten, um ein identisches Ergebnis zu erzielen.

Wir erkennen: findet sie sich später unter den vieren aus der unteren Schale, dann ist sie schwerer, oben leichter als die Neuprägungen.

Unterstellen wir, die obere Schale sei nach der ersten Wägung rechts gewesen, also wie es oben in Fall 2 dargestellt ist. Der oberen Schale entnehmen wir jetzt drei beliebige Medaillen und legen sie kurz zur Seite. In der folgenden Abbildung ist deren blaue Farbe etwas dunkler dargestellt. Legen Sie sie aber bitte separat und nicht zu den vier (weißen) anfangs nicht gewogenen Exemplaren, die als Kandidaten ja bereits ausgeschieden sind. Sonst müssten wir neu beginnen.

Unter den drei weggelegten (blauen) Medaillen könnte sich das Original befinden - falls es leichter sein sollte. Wir merken uns für nachher, welche Medaille in der rechten Schale verbleibt, hier die hellblaue.

Zwei beliebige der vier roten Medaillen aus der unteren Schale legen wir nun um in die andere Schale, zu der einzelnen (hellblauen) Medaille. Die umgelegten Exemplare sind in der Abbildung dunkelrot gekennzeichnet. Die zwei links verbleibenden (hellroten) Medaillen ergänzen wir um eine aus den gerade zur Seite gelegten drei dunkelblauen.

2. Wägung, 1. ist ungleich

Wir haben nach dem Umlegen folgende Situation: auf jeder Seite der Waage liegen zwei (rote) Medaillen, unter denen sich die gesuchte genau dann befinden muss, wenn sie denn tatsächlich schwerer (rot) ist.

Sollte sie aber leichter (blau) sein, dann muss sie entweder als dritte in einer der Schalen liegen oder sie befindet sich unter den restlichen zwei der gerade zur Seite gelegten (dunkelblauen) Medaillen.

Denken Sie ruhig zwei Mal darüber nach, bevor Sie zustimmen. Von jetzt an wird es wieder einfacher.

Sollte in der zweiten Wägung nun ein Gleichgewicht angezeigt werden, dann haben wir Fall 2a. Die Medaille kann dabei nicht in den Schalen liegen, sonst ergäbe sich nämlich kein Gleichgewicht. Sie muss sich unter den restlichen zweien von drei aus der rechten Schale genommenen (dunkelblauen) Medaillen befinden. Sie muss leichter sein, weil sonst die Waagschale in der ersten Wägung ja nicht oben gewesen wäre.

In den Fällen 2b und 2c wird ein unterschiedliches Gewicht beider Seiten festgestellt, also liegt das Original in einer der Schalen. Die beiden weggelegten dunkelblauen Medaillen scheiden aus.

Wir erinnern uns, dass die blauen Medaillen so gekennzeichnet sind, weil sie vielleicht leichter, aber niemals schwerer sind. In Fall 2b kann die dunkelblaue Medaille aber nicht die gesuchte sein, weil deren leichteres Gewicht die Waagschale keinesfalls nach unten auslenken könnte. Rote Medaillen können niemals leichter sein, höchstens schwerer. Somit scheiden auch die zwei dunkelroten Medaillen rechts aus, weil die Schale oben und deshalb leichter ist. Im Rennen bleiben also unter Fall 2b nur die zwei hellroten Medaillen links als schwerere Kandidaten oder die hellblaue rechts, wobei diese natürlich leichter wäre.

Nehmen wir jetzt noch Fall 2c. Hier scheidet die hellblaue Medaille rechts aus, weil sie ja leichter ist, die Schale aber nach unten geht. Auch die zwei roten auf der linken Seite sind es nicht, weil sie nicht leicht sein können. Es bleiben also die drei jeweils dunklen Kandidaten im Rennen.

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Die dritte und letzte Wägung, die Goldmedaille ist in Sichtweite

Waren die Beschreibungen zu den möglichen Fällen bei der zweiten Wägung recht umfangreich, so wird es nun wieder eher kurz und simpel. Deshalb gibt es auch keine Bilder zur dritten Wägung selbst, Denksportler schaffen das im Kopf.

Auch bei der dritten Wägung müssen wir wieder Fälle unterscheiden, sie führen abhängig von der Vorgeschichte in jedem Fall sofort zu einem eindeutigen Ergebnis. Sie zeigen, welche Medaille aus dem Safe stammt und ob sie leichter oder schwerer als die Nachprägungen ist.

2. Wägung, 1. gleich

Wir erinnern uns an den Gleichstand bei der ersten Wägung (Fall 1) und besonders der zweiten (1a). Auch hier ist die Grafik nochmals links eingeblendet. Es blieb nur eine Medaille (die mit den zwei Farben) als die Gesuchte übrig.

Ermitteln Sie in der dritten Wägung ihr Gewicht durch direkten Vergleich mit einer beliebigen anderen Medaille, die alle Nachprägungen sein müssen, und Sie haben ein mögliches Ziel erreicht.

Geht die Schale nach oben, dann ist die letzte und gesuchte Medaille leichter, sonst … aber das finden Sie nun sicher selbst heraus.

Waren die Gewichte der Seiten in der ersten Wägung gleich und bei der zweiten unterschiedlich, dann haben wir rechts drei Medaillen, von denen genau eine leichter (1b) oder eine schwerer (1c) ist. Wir wissen das, weil die Waage rechts entsprechend ausschlug. Man lege von den dreien, von denen wir die einzig mögliche Gewichtsrichtung bereits kennen, jeweils nur eine links und eine rechts auf. Bei Gleichgewicht ist die dritte, jetzt nicht gewogene Medaille das Original und deren Gewicht ist durch die vorherige Lage der Waagschale bekannt. Oben bedeutet wie immer leichter.

Sollte die Waage aber ausschlagen, dann scheidet die dritte Medaille aus. Ging die rechte Schale vorher nach oben (1b), dann konnte die gesuchte Medaille nur leichter, aber nicht schwerer sein. Also enthält in der dritten Wägung die nach oben gehende Schale das leichte Original.

Wäre dagegen Fall 1c zutreffend, dann liegt das schwerere Original in der unteren Schale, denn die Medaille kann in diesem Fall nicht leichter sein.

2. Wägung, 1. ungleich

Nun könnte aber auch Fall 2 oder 3 eintreten, bei dem anfangs kein Gleichgewicht herrscht. Zu Fall 3 haben wir schon festgestellt, dass er nicht eigenständig ist und es reicht, den Fall 2 zu betrachten. Also lösen wir die Fälle 2a, 2b oder 2c weiter auf.

Damit Sie nicht scrollen müssen, ist links noch einmal die Grafik mit den möglichen Ergebnissen der zweiten Wägung zu sehen.

Ganz einfach löst sich Fall 2a wegen des herrschenden Gleichgewichts, bei dem nur die zwei nicht gewogenen Medaillen als Lösung möglich sind. Also wiegen wir im dritten Gang beide direkt gegeneinander, das gesuchte Original ist blau, somit leichter und muss jetzt in der oberen Schale liegen.

Zu Fall 2b haben wir schon festgestellt, dass entweder die leichte hellblaue Medaille rechts oben das gesuchte Ziel ist oder eine der beiden schweren (hellroten) Medaillen links unten.

Zur Erinnerung: läge eine schwerere Medaille (rot) tatsächlich rechts, könnte die Waage hier niemals eine leichtere Schale anzeigen. Allenfalls die hellblaue Medaille könnte hier die (leichte) Ursache sein - vielleicht.

Also nehmen wir nun die hellblaue in die Hand und wiegen im dritten Gang nur die beiden unteren hellroten gegeneinander. Sind beide gleich schwer, halten wir die gesuchte (hellblaue) leichte Medaille in der Hand, ansonsten liegt das (hellrote) Original in der unteren Waagschale, weil es schwerer ist.

Ähnlich sieht es im Fall 2c aus, bei dem nur eine der dunkelroten Medaillen rechts oder die dunkelblaue links die Lösung bieten kann. Auch hier vergleichen wir in der dritten Wägung nur die zwei roten Exemplare, aber jetzt die dunklen aus der rechten Schale. Die dunkelblaue Medaille (links) kommt in die Hand. Bei Gleichgewicht beider Seiten ist die (dunkelblaue) Medaille in der Hand die gesuchte und sie ist natürlich leichter, ansonsten ist es die schwerere Medaille, die sich aktuell in der unteren Schale befindet.

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Das Fazit: wieder was gelernt

Das waren nun viele Worte, verwirbelt in reichlich Hirnschmalz. Doch um eine Goldmedaille zu erringen, ist schon einiger Aufwand nötig. Natürlich kann man die Aufgabe auch mit weniger Worten abhandeln. Dabei fällt die Lösung aber quasi als gegeben "vom Himmel" und man hat mehr Mühe, sie nachzuvollziehen und zu verstehen. Hoffentlich ist es hier anders.

Die obige Erkenntnis zum richtigen Goldwiegen mit der Balkenwaage wird sicher einen praktischen Nutzen auch für Sie bringen. Denken Sie nur einmal an den Schwimmer Michael Phelps, der es in seiner aktiven Zeit bei vier Olympischen Spielen (2004 - 2016) auf 23 Goldmedaillen gebracht hat. Allein schon die Zeit, die er jetzt beim Wiegen der Medaillen sparen kann, ist rekordverdächtig.

Sollten Sie die anfangs gesuchte Medaille nicht selbst entdeckt haben, so können Sie sich mit dem olympischen Motto trösten: "Dabeisein ist alles!"

 
in memoriam Franz Braun, Köln, † 2016