Stellen Sie sich vor, ein Mitarbeiter des olympischen Organisationsteams bekam aus der Prägeanstalt eine Muster-Lieferung von elf Goldmedaillen, um festzustellen, ob sie den Wünschen der Veranstalter entsprachen. In der Prägeanstalt war nämlich schon aufgefallen, dass das Gewicht der Muster untereinander zwar gleich war, aber ganz leicht vom Original abwich.

Der Mitarbeiter holte deshalb eine Medaille aus dem Safe, um sie mit den Mustern zu vergleichen. Optisch sahen alle Muster und das Original völlig identisch aus. Aber ob das Original nun ein wenig leichter oder schwerer war, konnte man den Medaillen nicht ansehen. Durch ein Versehen fiel dem Mitarbeiter das Original auch noch aus der Hand und landete zwischen den Mustern. Niemand konnte mehr durch Betrachten feststellen, welches die Originalmedaille aus dem Safe war.

Zum Glück meldete sich ein "Denk"-Sportler, der versicherte, er würde das Original herausfinden und sogar feststellen, ob es leichter oder schwerer ist als die nachgeprägten Medaillen.

Er benötigte dazu lediglich eine einfache Balkenwaage, also ein Gerät, das dazu dient, einen Gewichtsunterschied in zwei Schalen anzuzeigen, indem sich eine Seite senkte bzw. hob.

 
Die zweite Wägung, jetzt Ausdauer zeigen

Machen wir zunächst weiter mit Fall 1, bei dem die Waage im Gleichgewicht war. Es ist zu bestimmen, welche der vier bisher nicht gewogenen Medaillen das Original ist und in welche Richtung ihr Gewicht abweicht.

Dazu entfernen wir alle vier Medaillen aus einer der Waagschalen. Auf der anderen Seite nehmen wir nur eine weg. Welche Seite der Waage wir jeweils nehmen, das ist egal, denn alle acht aufliegenden Medaillen sind bereits als neutrale Nachprägung identifiziert, weil sie alle das gleiche Gewicht haben. Diese möglichen Fälle müssen wir schon mal nicht separat betrachten.

Wichtig ist, dass auf einer Seite (im folgenden Bild der linken) drei neutrale Nachprägungen liegen, die andere Schale ist zunächst noch leer.

Nun legen wir beliebige drei der vier anfangs nicht gewogenen Medaillen in die leere Schale. Wie bereits vermutet, wird wieder einer von drei Fällen als Ergebnis eintreten.

Die Waage kann nämlich erneut im Gleichgewicht sein (Fall 1a), doch die neu aufgelegte Seite könnte sich auch heben (Fall 1b) oder sich vielleicht senken (Fall 1c). Mit der Fallunterscheidung sind jetzt alle drei Möglichkeiten zu untersuchen.

Was folgt aus dem Gleichgewicht in Fall 1a? Weil die drei in der Schale verbliebenen Neuprägungen verglichen mit den gerade aufgelegten drei neuen Medaillen das gleiche Gewicht haben, ist das gesuchte Original mit der Abweichung wieder nicht darunter. Die letzte, bisher nicht gewogene Medaille muss also das Original aus dem Safe sein. Unbekannt bleibt, ob sie schwerer oder leichter ist. Darum zeigt sie die vorige Abbildung in den zwei Farben blau und rot.

Falls die Waage aber ausschlägt, dann kann die immer noch nicht gewogene Medaille auf keinen Fall die gesuchte sein. Das geht nur im Fall 1a und würde zwingend Gleichgewicht bedeuten.

Sollte der Fall 1b eintreten, dann muss eine der drei neu aufgelegten Medaillen das leichtere Original sein, sonst könnte sich die rechte Schale ja nicht heben. Senkt sie sich aber, wie in Fall 1c, dann ist das Original darin und es ist schwerer.

Wir wissen nun also, ob die gesuchte Medaille schwerer oder leichter ist. Sie liegt ganz sicher in der vorher geleerten Schale als eine von drei Medaillen - aber nur, wenn am Anfang Fall 1 zutraf, der ein Gleichgewicht der vier Medaillen auf jeder Seite bedeutete. Doch was tun, wenn nicht?

Dann springen wir zurück zu Fall 2 und 3 in der ersten Wägung. Hier war die Waage ja gerade nicht im Gleichgewicht. Zur Erinnerung finden Sie links noch einmal die Grafik zur ersten Wägung, aber mit abgeblendetem Fall 1.

Die gesuchte Medaille muss dabei in einer der beiden Waagschalen liegen, sie befindet sich auf keinen Fall bei den vier bisher nicht gewogenen Medaillen.

Dass wir Fall 3 auslassen können, wurde eben schon gezeigt, denn es ist egal, auf welcher Seite etwa die obere Schale ist, weil dort wird nie die schwere Medaille sein kann. Man könnte die Waage einfach von hinten betrachten, um ein identisches Ergebnis zu erzielen.

Wir erkennen: findet sie sich später unter den vieren aus der unteren Schale, dann ist sie schwerer, oben leichter als die Neuprägungen.

Unterstellen wir, die obere Schale sei nach der ersten Wägung rechts gewesen, also wie es oben in Fall 2 dargestellt ist. Der oberen Schale entnehmen wir jetzt drei beliebige Medaillen und legen sie kurz zur Seite. In der folgenden Abbildung ist deren blaue Farbe etwas dunkler dargestellt. Legen Sie sie aber bitte separat und nicht zu den vier (weißen) anfangs nicht gewogenen Exemplaren, die als Kandidaten ja bereits ausgeschieden sind. Sonst müssten wir neu beginnen.

Unter den drei weggelegten (blauen) Medaillen könnte sich das Original befinden - falls es leichter sein sollte. Wir merken uns für nachher, welche Medaille in der rechten Schale verbleibt, hier die hellblaue.

Zwei beliebige der vier roten Medaillen aus der unteren Schale legen wir nun um in die andere Schale, zu der einzelnen (hellblauen) Medaille. Die umgelegten Exemplare sind in der Abbildung dunkelrot gekennzeichnet. Die zwei links verbleibenden (hellroten) Medaillen ergänzen wir um eine aus den gerade zur Seite gelegten drei dunkelblauen.

Wir haben nach dem Umlegen folgende Situation: auf jeder Seite der Waage liegen zwei (rote) Medaillen, unter denen sich die gesuchte genau dann befinden muss, wenn sie denn tatsächlich schwerer (rot) ist.

Sollte sie aber leichter (blau) sein, dann muss sie entweder als dritte in einer der Schalen liegen oder sie befindet sich unter den restlichen zwei der gerade zur Seite gelegten (dunkelblauen) Medaillen.

Denken Sie ruhig zwei Mal darüber nach, bevor Sie zustimmen. Von jetzt an wird es wieder einfacher.

 
Die dritte und letzte Wägung, die Goldmedaille ist in Sichtweite

Waren die Beschreibungen zu den möglichen Fällen bei der zweiten Wägung recht umfangreich, so wird es nun wieder eher kurz und simpel. Deshalb gibt es auch keine Bilder zur dritten Wägung selbst, Denksportler schaffen das im Kopf.

Auch bei der dritten Wägung müssen wir wieder Fälle unterscheiden, sie führen abhängig von der Vorgeschichte in jedem Fall sofort zu einem eindeutigen Ergebnis. Sie zeigen, welche Medaille aus dem Safe stammt und ob sie leichter oder schwerer als die Nachprägungen ist.

Wir erinnern uns an den Gleichstand bei der ersten Wägung (Fall 1) und besonders der zweiten (1a). Auch hier ist die Grafik nochmals links eingeblendet. Es blieb nur eine Medaille (die mit den zwei Farben) als die Gesuchte übrig.

Ermitteln Sie in der dritten Wägung ihr Gewicht durch direkten Vergleich mit einer beliebigen anderen Medaille, die alle Nachprägungen sein müssen, und Sie haben ein mögliches Ziel erreicht.

Geht die Schale nach oben, dann ist die letzte und gesuchte Medaille leichter, sonst … aber das finden Sie nun sicher selbst heraus.

Waren die Gewichte der Seiten in der ersten Wägung gleich und bei der zweiten unterschiedlich, dann haben wir rechts drei Medaillen, von denen genau eine leichter (1b) oder eine schwerer (1c) ist. Wir wissen das, weil die Waage rechts entsprechend ausschlug. Man lege von den dreien, von denen wir die einzig mögliche Gewichtsrichtung bereits kennen, jeweils nur eine links und eine rechts auf. Bei Gleichgewicht ist die dritte, jetzt nicht gewogene Medaille das Original und deren Gewicht ist durch die vorherige Lage der Waagschale bekannt. Oben bedeutet wie immer leichter.

Sollte die Waage aber ausschlagen, dann scheidet die dritte Medaille aus. Ging die rechte Schale vorher nach oben (1b), dann konnte die gesuchte Medaille nur leichter, aber nicht schwerer sein. Also enthält in der dritten Wägung die nach oben gehende Schale das leichte Original.

Wäre dagegen Fall 1c zutreffend, dann liegt das schwerere Original in der unteren Schale, denn die Medaille kann in diesem Fall nicht leichter sein.

 
Das Fazit: wieder was gelernt

Das waren nun viele Worte, verwirbelt in reichlich Hirnschmalz. Doch um eine Goldmedaille zu erringen, ist schon einiger Aufwand nötig. Natürlich kann man die Aufgabe auch mit weniger Worten abhandeln. Dabei fällt die Lösung aber quasi als gegeben "vom Himmel" und man hat mehr Mühe, sie nachzuvollziehen und zu verstehen. Hoffentlich ist es hier anders.

Die obige Erkenntnis zum richtigen Goldwiegen mit der Balkenwaage wird sicher einen praktischen Nutzen auch für Sie bringen. Denken Sie nur einmal an den Schwimmer Michael Phelps, der es in seiner aktiven Zeit bei vier Olympischen Spielen (2004 - 2016) auf 23 Goldmedaillen gebracht hat. Allein schon die Zeit, die er jetzt beim Wiegen der Medaillen sparen kann, ist rekordverdächtig.

Sollten Sie die anfangs gesuchte Medaille nicht selbst entdeckt haben, so können Sie sich mit dem olympischen Motto trösten: "Dabeisein ist alles!"